Phi

Después de un muy buen inicio y un poco agitado inicio de mes, pongo como primer tema algo sobre números. Hay unas varias cuantas cosas que me satisfacen en exceso, y en matemáticas una de ellas es teoría de números, pero en este caso tan sólo mencionaré algunas sutilezas del número áureo, Phi. Éste número resulta de varias maneras: Considerándolo como Euclides, tomar una división en un punto a de un segmento de recta (a+b) e imponer que la razón (a+b)/a sea igual a la razón a/b, que será entonces la constante phi, que llamaremos f por facilidad. Si tomamos por ej. a=1, entonces a+b=f y sale directo una propiedad del númerito (pues a/b=f): f=1+1/f.

Si solucionamos la última relación y usando directo la formulita cuadrática -que casi nadie recuerda al salir del bachillerato por estos rumbos-, obtenemos como solución positiva:

La solución negativa es con el signo negativo para el término con raíz en el numerador, de modo que sería 1-phi=-1/phi. También, sustituyendo f=1+1/f en sí misma (e.g. f=1+1/(1+1/f)) reiteradamente, vemos la representación más sencilla de un irracional mediante fracciones continuas:

Nuestro héroe tiene varias propiedades y relaciones más:

* La representación de la raíz de dos, icono de los números irracionales:

* En la sucesión de Fibonacci 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ... que resulta de ir sumando los dos últimos números para obtener el siguiente, si dividimos un número por su antecesor en la serie, mientras más lejos se esté del cero se obtiene un valor más cercano a phi.

* Los rectángulos dorados (o áureos valga) son los que tienen la proporción phi entre sus lados. Puede resultar de construirlos como se ve en la figurita:

Tomando el punto medio de un cuadrado, trazar a partir de ahí con compás digamos un rectángulo prolongando los lados paralelos adecuadamente. La proporción resultante entre los lados del rectángulo es phi. El rectángulo restante de quitar el área del cuadrado original también es dorado.

* El pentagrama. Los puntos del pentagrama pueden unirse formando un pentágono; la longitud de las diagonales largas del pentagrama dividida por la longitud de los lados de dicho pentágono es phi. La figurita del pentagrama muestra proporciones "divinas" (eh que luego la gente cree que es real la palabrita): coloreados rojo-azul, azul-verde, verde-morado. Los pitagóricos y su misticismo tenían sus pequeños orgasmos con eso.

* Espirales. Se logra una aproximación a un tipo de espiral llamada logarítmica si se van realizando rectángulos dorados más pequeños (o más grandes si se gusta) mediante la construcción mencionada antes.

Los rectángulos dorados se dan en muchas obras artísticas desde la antiguedad, las más famosas siendo el Partenón y varias obras de Leonardo. Muchas espirales en la naturaleza se aproximan a espirales logarítmicas por cuestiones de simplicidad y eficiencia en el crecimiento de un sistema. La ramificación en los árboles sigue un aproximado a la sucesión de Fibonacci en el número de ramas que van creciendo en seguida una de otra, como parece también en el ser humano (un tronco con brazos 2, cada brazo con brazo, antebrazo y mano 3, mano con 5 dedos y hasta ahí). Y uyy de miedo, la relación con el número de la bestia:

--Si alguien checó la wiki y lo leyó, mejor pues aquí todo es más introductorio por el breve espacio... también está interesantín, aunque algo menos exacto al poner opiniones, el extracto de libro de un tipo dado en la página http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/152/htm/sec_12.htm